Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD邊的中點，以O為圓心，OC長為半徑作圓，交BC邊于點E．過E作EH⊥AB，垂足為H．已知⊙O與AB邊相切，切點為F．
（1）求證：OE∥AB；
（2）求證：EH=AB；
（3）若，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）判斷出∠B=∠OEC，根據同位角相等得出OE∥AB；
（2）連接OF，求出EH=OF=DC=AB．
（3）求出△EHB∽△DEC，根據相似三角形的性質和勾股定理解答．
解答：（1）證明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，
∴∠B=∠C，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∴∠B=∠OEC，
∴OE∥AB．

（2）證明：連接OF．
∵⊙O與AB切于點F，
∴OF⊥AB，
∵EH⊥AB，
∴OF∥EH，
又∵OE∥AB，
∴四邊形OEHF為平行四邊形，
∴EH=OF，
∵OF=CD=AB，
∴EH=AB．

（3）解：連接DE．
∵CD是直徑，
∴∠DEC=90°，
則∠DEC=∠EHB，
又∵∠B=∠C，
∴△EHB∽△DEC，
∴=，
∵=，
設BH=k，
則BE=4k，
EH==k，
∴CD=2EH=2k，
∴===．
點評：本題考查了圓的切線性質，運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形、矩形解決有關問題．