Question

已知關于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-

1

2

）=0．
（1）求證：無論k取什么實數值，這個方程總有實根．
（2）若等腰△ABC的一邊長a=4，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）先把方程化為一般式：x²-（2k+1）x+4k-2=0，要證明無論k取任何實數，方程總有兩個實數根，即要證明△≥0；
（2）先利用因式分解法求出兩根：x₁=2，x₂=2k-1．先分類討論：若a=4為底邊；若a=4為腰，分別確定b，c的值，求出三角形的周長．

解答：（1）證明：方程化為一般形式為：x²-（2k+1）x+4k-2=0，
∵△=（2k+1）²-4（4k-2）=（2k-3）²，
而（2k-3）²≥0，
∴△≥0，
所以無論k取任何實數，方程總有兩個實數根；

（2）解：x²-（2k+1）x+4k-2=0，
整理得（x-2）[x-（2k-1）]=0，
∴x₁=2，x₂=2k-1，
當a=4為等腰△ABC的底邊，則有b=c，
因為b、c恰是這個方程的兩根，則2=2k-1，
解得k=

3

2

，則三角形的三邊長分別為：2，2，4，
∵2+2=4，這不滿足三角形三邊的關系，舍去；
當a=4為等腰△ABC的腰，
因為b、c恰是這個方程的兩根，所以只能2k-1=4，
則三角形三邊長分別為：2，4，4，
此時三角形的周長為2+4+4=10．
所以△ABC的周長為10．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．同時考查了分類思想的運用、等腰三角形的性質和三角形三邊的關系．