Question

如圖，BC是⊙O的直徑，AB是⊙O的切線，AB=BC，P是AB上的一個動點（不運動至點B、A），過點P引⊙O的另一條切線PD切⊙O于D，CQ⊥BC交PD的延長線于Q，連接AC與PQ交于點E（如圖1）．
（1）若點P運動到某一位置時，點D與點E重合（如圖2），試指出并說明此時PQ與BC的位置關系．
（2）連接OP、OQ（如圖3），求證：不論P運動到何處，都有OP⊥OQ．
（3）若AE：EC=1：2，AB=2，請你確定點P的位置．

Answer 1

解：（1）PQ∥BC，
理由是：連接OD，BD，
∵AB是⊙O的切線，AB=BC，
∴∠ABC=90°，∠ACB=45°，
又∵PD切⊙O于D點，
∴∠PDO=90°，
在Rt△BDC中，∠DBC=∠ACB=45°，
又∵∠ADB=∠ADP+∠BDP=∠BDO+∠PDB=∠PDO，
∴∠ADP=∠BDO=45°，
∴∠ADP=∠ACB，
∴PQ∥BC；


（2）連接OD，
∵AB是⊙O的切線，切線PD切⊙O于D，
∴∠B=∠PDO=90°，
∵OB=OD，PO=PO，
∴Rt△PBO≌Rt△PDO（HL），
同理：Rt△QDO≌Rt△QCO，
∴∠POB=∠POD，∠DOQ=∠COQ，
∴∠POD+∠QOD=90°，
∴OP⊥OQ；

（3）∵PB⊥BC，CQ⊥BC，
∴AB∥CQ，
∴△APE∽△QCE，
∴，
設AP=x，則CQ=2x，
∵PO⊥OQ，
∴∠POB+∠OPB=∠POB+∠COQ=90°，
∴∠BPO=∠COQ，
∵∠B=∠C=90°，
∴△PBO∽△OCQ，
∴，
∴，
解得：x=，
∴當P點離A點處時滿足題目條件．
分析：（1）連接OD，BD，由AB是⊙O的切線，AB=BC，根據切線的性質與等腰三角形的性質，即可得∠ABC=90°，∠ACB=45°，又由PD切⊙O于D點，易證得∠ADP=∠ACB，根據同位角相等，兩直線平行，即可得PQ∥BC；
（2）連接OD，可證Rt△PBO≌Rt△PDO，Rt△QDO≌Rt△QCO，即可得∠POB=∠POD，∠DOQ=∠COQ，則可證得OP⊥OQ；
（3）易證得AB∥CQ，則可得△APE∽△EQC，根據相似三角形的對應邊成比例，可得，設AP=x，則CQ=2x，可證得△PBO∽△OCQ，可得，繼而可求得答案．
點評：此題考查了切線的性質，圓周角定理，等腰三角形的性質，全等三角形與相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用，注意輔助線的作法．