Question

【題目】如圖①，點P是正方形ABCD的BC邊上的一點，以DP為邊長的正方形DEFP與正方形ABCD在BC的同側，連接AC，FB．

（1）請你判斷FB與AC又怎樣的位置關系？并證明你的結論；
（2）若點P在射線CB上運動時，如圖②，判斷（1）中的結論FB與AC的位置關系是否仍然成立？并說明理由；

（3）當點P在射線CB上運動時，請你指出點E的運動路線，不必說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）FB∥AC，

證明：過F作FM⊥BC于M，

∵四邊形ABCD、DEFP是正方形，

∴∠ACB=45°，DC=BC，PF=DP，∠DCP=∠M=∠FPD=90°，

∴∠MFP+∠FPM=∠FPM+∠DPC=90°，

∴∠MFP=∠CPD，

在△PFM和△DPC中

∴△PFM≌△DPC（AAS），

∵DC=PM，FM=PC，

∵DC=BC，

∴BC=DC=PM，

∴PM﹣BP=BC﹣BP，

∴BM=CP，

∵FM=CP，

∴FM=BM，

∵∠M=90°，

∴∠FBM=∠MFB= （180°﹣90°）=45°，

∵∠ACB=45°，

∴∠ACB=∠FBM，

∴FB∥AC

（2）解：結論仍成立，

理由是：過F作FM⊥BC于M，

∵四邊形ABCD、DEFP是正方形，

∴∠ACB=45°，DC=BC，PF=DP，∠DCP=∠M=∠FPD=90°，

∴∠MFP+∠FPM=∠FPM+∠DPC=90°，

∴∠MFP=∠CPD，

在△PFM和△DPC中，

，

∴△PFM≌△DPC（AAS），

∵DC=PM，FM=PC，

∵DC=BC，

∴BC=DC=PM，

∴PM+BP=BC+BP，

∴BM=CP，

∵FM=CP，

∴FM=BM，

∵∠M=90°，

∴∠FBM=∠MFB= （180°﹣90°）=45°，

∵∠ACB=45°，

∴∠ACB=∠FBM，

∴FB∥AC

（3）解：當點P在直線BC上移動時，E的軌跡是圖中的線段GA．

【解析】（1）通過觀察可知二者平行，須延長CB連接MB構造全等三角形△PFM≌△DPC，得出內錯角相等，即∠ACB=∠FBM，證得平行；（2）借鑒（1）的思路方法，輔助線仍和原來一樣；（3）借鑒（1）（2）的圖形，觀察圖1、2，E點始終在A的正上方，再尋找起始點，結束點，可確定是線段GA.
【考點精析】通過靈活運用正方形的性質，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．