Question

勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發行了二枚以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構成（圖1：△ABC中，∠BAC=90°）．
請解答：
（1）如圖2，若以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形，則它們的面積S₁、S₂、S₃之間的數量關系是

 

．
（2）如圖3，若以直角三角形的三邊為直徑向外作半圓，則它們的面積S₁、S₂、S₃之間的數量關系是

 

，請說明理由．

（3）如圖4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD=90°，BC=2AD，分別以AB、CD、AD為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S₁、S₂、S₃，則S₁、S₂、S₃之間的數量關系式為

 

，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直角△ABC的邊長就可以表示出等邊三角形S₁、S₂、S₃的大小，滿足勾股定理．
（2）利用直角△ABC的邊長就可以表示出半圓S₁、S₂、S₃的大小，滿足勾股定理．

解答：解：設直角三角形ABC的三邊AB、CA、BC的長分別為a、b、c，則c²=a²+b²
（1）S₁+S₂=S₃，證明如下：
∵S₃=

3

4

c2，S₁=

3

4

a2，S₂=

3

4

b2
∴S₁+S₂=

3

4

(a2+b2)=

3

4

c2=S₃；

（2）S₁+S₂=S₃．證明如下：
∵S₃=

1

8

πc2，S₁=

1

8

πa2，S₂=

1

8

πb2
∴S₁+S₂=

1

8

πa2+

1

8

πb2=

1

8

πc2=S₃；

（3）過D點作DE∥AB，交BC于E，設梯形的邊AB、DC、AD的長
分別為a、b、c，可證EC=AD=c，DE=AB=a，
∠EDC=180°-（∠DEC+∠BCD）=180°-（∠ABC+∠BCD）=90°，
則c²=a²+b²
∵S₁=a²、S₂=b²、S_3⁼c²，表示，則S₁+S₂=S₃．
故答案為：S₁+S₂=S₃；S₁+S₂=S₃；S₁+S₂=S₃．

點評：考查了三角形、正方形、圓的面積的計算以及勾股定理的應用．