Question

【題目】已知，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2AB，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．

（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；
（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，
①已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒．當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值；
②若點P、Q的速度分別為v1、v2（cm/s），點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，試探究a與b滿足的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．

∵EF垂直平分AC，

∴OA=OC．

∵在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴OE=OF．

∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE為菱形．

設菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，

即42+（8﹣x）2=x2，

解得：x=5，

∴AF=5

（2）

①解：根據題意得，P點AF上時，Q點CD上，此時A，C，P，Q四點不可能構成平行四邊形；

同理P點AB上時，Q點DE或CE上，也不能構成平行四邊形．

∴只有當P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，

∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA，

∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，

∴PC=5t，QA=12﹣4t，

∴5t=12﹣4t，

解得：t= ，

∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t= 秒；

②由①得，PC=QA時，以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，

設運動時間為y秒，

則yv1=12﹣yv2，

解得，y= ，

∴a= ×v1，b= ×v2，

∴ = ．

【解析】（1）先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定，根據勾股定理即可求AF的長；（2）①分情況討論可知，P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質列出方程求解即可；②由①的結論用v1、v2表示出A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時所需的時間，計算即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分，以及對平行四邊形的判定的理解，了解兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．