Question

如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥BC交AC與E，已知AD=AB，連接BE交AD于F，下列結論：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③AF=DF；④S_△ABF=3S_△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正確的有（　　）個．

A．5

B．4

C．3

D．2

Answer 1

分析：要解答本題，首先由中垂線的性質可以求得BE=CE，利用外角與內角的關系可以得出∠CAD=∠ABE，通過作輔助線利用等腰三角形的性質和三角形全等可以得出EF=FH=

1

2

HB，根據等高的兩三角形的面積關系求出AF=DF，S_△ABF=3S_△DEF，利用角的關系代替證明∠5≠∠4，從而得出△DEF與△DAE不相似．根據以上的分析可以得出正確的選項答案．

解答：解：∵D是BC的中點，且DE⊥BC
∴DE是BC的垂直平分線，CD=BD
∴CE=BE，故本答案正確；
∴∠C=∠7
∵AD=AB
∴∠8=∠ABC=∠6+∠7
∵∠8=∠C+∠4
∴∠C+∠4=∠6+∠7
∴∠4=∠6，即∠CAD=∠ABE，故本答案正確；
作AG⊥BD于點G，交BE于點H，
∵AD=AB，DE⊥BC，
∴∠2=∠3，DG=BG=

1

2

BD，DE∥AG
∴CDE△∽△CGA，△BGH∽△BDE，EH=BH，∠EDA=∠3，∠5=∠1
∴CD：CG=DE：AG，HG=

1

2

DE
設DG=x，DE=y，則GB=x，CD=2x，CG=3x
∴2x：3x=2y：AG，
解得：AG=3y，HG=y
∴AH=2y
∴DE=AH，且∠EDA=∠3，∠5=∠1
∴DEF△≌△AHF
∴AF=DF，故本答案正確；
EF=HF=

1

2

EH，且EH=BH
∴EF：BF=1：3
∴S_△ABF=3S_△AEF
∵S_△DEF=S_△AEF
∴S_△ABF=3S_△DEF，故本答案正確；
∵∠1=∠2+∠6，且∠4=∠6，∠2=∠3
∴∠5=∠3+∠4
∴∠5≠∠4
∴△DEF∽△DAE，不成立，故本答案錯誤．
綜上所述：正確的答案有4個．
故選B．

點評：本題考查了中垂線的判定及性質，等腰三角形的性質，三角形全等的判定及性質，三角形的中位線及相似三角形的判定及性質和等積變換等知識．