Question

（2012•鹽城）在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y=

1

4

x2+mx+n的圖象經過點A（2，0）和點B（1，-

3

4

），直線l經過拋物線的頂點且與y軸垂直，垂足為Q．

（1）求該二次函數的表達式；
（2）設拋物線上有一動點P從點B處出發沿拋物線向上運動，其縱坐標y₁隨時間t（t≥0）的變化規律為y₁=-

3

4

+2t．現以線段OP為直徑作⊙C．
①當點P在起始位置點B處時，試判斷直線l與⊙C的位置關系，并說明理由；在點P運動的過程中，直線l與⊙C是否始終保持這種位置關系？請說明你的理由．
②若在點P開始運動的同時，直線l也向上平行移動，且垂足Q的縱坐標y₂隨時間t的變化規律為y₂=-1+3t，則當t在什么范圍內變化時，直線l與⊙C相交？此時，若直線l被⊙C所截得的弦長為a，試求a²的最大值．

Answer 1

分析：（1）所求函數的解析式中有兩個待定系數，直接將A、B兩點坐標代入即可得解．
（2）①由于OP是⊙C的直徑，根據P點的縱坐標可表示出C點的縱坐標，進而能表示出C到直線l的距離；OP長易得，然后通過比較⊙C的半徑和C到直線l的距離，即可判定直線l與⊙C的位置關系．
②該題要分兩問來答，首先看第一問；該小題的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直線l與點C的位置關系（需要考慮到C到直線l的表達方式）．
在第二問中，a²最大，那么a最大，即直線l被⊙C截得的弦最長，此時圓心C應在直線l上，根據該思路即可得解．

解答：解：（1）將點A（2，0）和點B（1，-

3

4

）分別代入y=

1

4

x²+mx+n中，得：

1 4 ×4+2m+n=0 1 4 +m+n=- 3 4

，
解得：

m=0 n=-1

，
∴拋物線的解析式：y=

1

4

x²-1；

（2）①將P點縱坐標代入（1）的解析式，得：

1

4

x²-1=-

3

4

+2t，x=

8t+1

，
∴P（

8t+1

，-

3

4

+2t），
∴圓心C（

8t+1

2

，-

3

8

+t），
∴點C到直線l的距離：-

3

8

+t-（-1）=t+

5

8

；
而OP²=8t+1+（-

3

4

+2t）²，得OP=2t+

5

4

，半徑OC=t+

5

8

；
∴直線l與⊙C始終保持相切．
②Ⅰ、當圓心C在直線l上時，-

3

8

+t=-1+3t，t=

5

16

；
此時直線l與⊙C相交；
  當0＜t≤

5

16

時，C到直線l的距離：-

3

8

+t-（-1+3t）=

5

8

-2t＜t+

5

8

，
∴直線l與⊙C相交；
  當t＞

5

16

時，C到直線l的距離：-1+3t-（-

3

8

+t）=2t-

5

8

，
若直線l與⊙C相交，則：2t-

5

8

＜t+

5

8

，t＜

5

4

；
  綜上，當0＜t＜

5

4

時，直線l與⊙C相交；
Ⅱ、∵0＜t＜

5

4

時，圓心C到直線l的距離為d=|2t-

5

8

|，又半徑為r=t+

5

8

，
∴a²=4（r²-d²）=4[（t+

5

8

）²-|2t-

5

8

|²]=-12t²+15t，
∴t=

5

8

時，a的平方取得最大值為

75

16

．

點評：該題是函數的動點問題，其中涉及直線與圓的位置關系等綜合知識；在處理此類問題時，要注意尋找關鍵點以及分段進行討論，以免出現漏解．