Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線N過A(﹣1，3)，B(4，8)，O(0，0)三點

(1)求該拋物線和直線AB的解析式.

(2)平移拋物線N，求同時滿足以下兩個條件的平移后的拋物線解析式：①平移后拋物線的頂點在直線AB上；②設平移后拋物線與y軸交于點C，如果S△ABC＝3S△ABO.

Answer 1

【答案】(1)y＝x2﹣2x；y＝x+4；(2)平移后的拋物線解析式為y＝(x+4)2或y＝(x﹣3)2+7.

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法求拋物線M和直線AB的解析式；

(2)先求出直線AB與y軸的交點坐標為(0，4)，設平移后拋物線的頂點坐標為(t，t+4)，則平移后的拋物線解析式為y＝(x﹣t)2+t+4，接著表示出N(0，t2+t+4)，利用三角形面積公式得到|t2+t+4﹣4|(4+1)＝4××4×(4+1)，然后解絕對值方程求出得到平移后的拋物線解析式.

解：(1)設拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，

把A(﹣1，3)，B(4，8)，O(0，0)代入得 ，解得，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x；

設直線AB的解析式為y＝mx+n，

把A(﹣1，3)，B(4，8)代入得，解得m＝1，n＝4，

∴直線AB的解析式為y＝x+4；

(2)當x＝0時，y＝x+4＝4，則直線AB與y軸的交點坐標為(0，4)，

設平移后拋物線的頂點坐標為(t，t+4)，則平移后的拋物線解析式為y＝(x﹣t)2+t+4，

當x＝0時，y＝(0﹣t)2+t+4＝t2+t+4，則C(0，t2+t+4)，

∵S△ABC＝3S△ABO，

∴|t2+t+4﹣4|(4+1)＝3××4×(4+1)，

即|t2+t|＝12，

方程t2+t＝﹣12沒有實數(shù)解，

解方程t2+t＝12得t1＝﹣4，t2＝3，

∴平移后的拋物線解析式為y＝(x+4)2或y＝(x﹣3)2+7.