Question

【題目】如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N．

（1）當A，B，C三點在同一直線上時（如圖1），直接寫出線段AD與NE的數量關系為　 　．

（2）將圖1中的△BCE繞點B旋轉，當A，B，E三點在同一直線上時（如圖2），判斷△ACN是什么特殊三角形并說明理由．

（3）將圖1中△BCE繞點B旋轉到圖3位置，此時A，B，M三點在同一直線上．若AC=3，AD=1，則四邊形ACEN的面積為　 　．

Answer 1

【答案】（1）AD=AE；（2）△ACN為等腰直角三角形，理由見解析；（3） .

【解析】試題分析：（1）證明△ADM和△NEM全等，可得AD=NE．（2）△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，證明△ABC和△NEC中，可得∠ABC=∠NEC，△ACN為等腰直角三角形．（3）連接CM,先證明△ADM≌△NEM，△ABC≌△NEC，所以 △ACN為等腰直角三角形，

由（1）可知，△AMD≌△NME，利用S四邊形ACNE=S△AMC+S直角梯形MNEC.

試題解析：

解：（1）結論：AD=NE,

理由：如圖1，

∵EN∥AD，

∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM,

∵點M為DE的中點，

∴DM=EM,

在△ADM和△NEM中，

,

∴△ADM≌△NEM,

∴AD=NE．

（2）結論：△ACN為等腰直角三角形．

理由，如圖2，

∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，

∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°,

∵AD∥NE，

∴∠DAE+∠NEA=180°,

∵∠DAE=90°，

∴∠NEA=90°．

∴∠NEC=135°,

∵A，B，E三點在同一直線上，

∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°,

∴∠ABC=∠NEC,

∵△ADM≌△NEM（已證），

∴AD=NE,

∵AD=AB，

∴AB=NE,

在△ABC和△NEC中，

,

∴△ABC≌△NEC,

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE,

∴∠ACN=∠BCE=90°,

∴△ACN為等腰直角三角形．

（3）如圖3中，連接CM．

∵AD∥NE，M為中點，

∴易得△ADM≌△NEM，

∴AD=NE．

∵AD=AB，

∴AB=NE，

∵AD∥NE，

∴AF⊥NE，

在四邊形BCEF中，

∵∠BCE=∠BFE=90°，

∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°

∵∠FBC+∠ABC=180°，

∴∠ABC=∠FEC，

在△ABC和△NEC中，

,

∴△ABC≌△NEC，

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE，

∴∠ACN=∠BCE=90°，

∴△ACN為等腰直角三角形，

由（1）可知，△AMD≌△NME，

∴AM=MN，AD=NE=1，

∴CM⊥AN，AM=CM=MN，

∵AC=3，

∴AM=CM=MN=3，

∴S四邊形ACNE=S△AMC+S直角梯形MNEC=×3×3+×（3+1）×3=．

故答案為．