Question

【題目】已知二次函數y=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2，

（1）當a=0，2，4時，請在同一直角坐標系中畫出對應函數圖象的頂點，并畫出a=2 時的函數圖象；
（2）證明當a取任意實數時，頂點在一條確定的直線上；
（3）求（2）中的直線被拋物線y=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2截得的線段長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數y=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2=4（x﹣ a）2﹣2a+2，

∴拋物線的頂點坐標為（ a，﹣2a+2）．

當a=0時，拋物線的頂點坐標為（0，2）；

當a=2時，拋物線的頂點坐標為（1，﹣2），拋物線的解析式為y=4（x﹣1）2﹣2；

當a=4時，拋物線的頂點坐標為（2，﹣6）．

畫出函數圖象如圖所示

（2）證明：∵拋物線的頂點坐標為（ a，﹣2a+2），

∴﹣2a+2=﹣4×（ a）+2，

∴y=﹣4x+2，即當a取任意實數時，頂點在一條確定的直線上

（3）解：聯立兩函數解析式成方程組，

，解得： ， ，

∴兩函數的交點坐標為（ a﹣1，﹣2a+6），（ a，﹣2a+2），

∴（2）中的直線被拋物線y=4x2﹣4ax+a2﹣2a+2截得的線段長為 =

【解析】(1) 利用配方法將二次函數解析式由一般式變形為頂點式，由此可得出拋物線的頂點坐標，分別代入a=0、a=2、a=4找出頂點坐標，并畫出a=2時，二次函數的圖象即可；
（2）由待定系數法，將拋物線的頂點坐標代入直線的解析式，消去a后即可得出y=-4x+2，此題得證；
（3）聯立兩函數解析式成方程組，通過解方程組求出交點坐標，再根據兩點間的距離公式求出線段長度即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．