Question

【題目】如圖，已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，邊BC是⊙0的切線，切點為D，AB經過圓心O并與圓相交于點E，連接AD．

（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若AC=8，tan∠DAC= ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OD，

∵BC是⊙O的切線，

∴OD⊥BC，又∠C=90°，

∴OD∥AC，

∴∠ODA=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠BAC

（2）

解：連接CE，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

∵∠OAD=∠CAD，tan∠DAC= ，

∴tan∠EAD= ，

∵tan∠DAC= ，AC=8，

∴CD=6，

由勾股定理得，AD= =10，

∴ = ，

解得，DE= ，

∴AE= = ，

∴⊙O的半徑為 ．

【解析】（1）連接OD，根據切線的性質得到OD⊥BC，根據平行線的性質和等腰三角形的性質證明；（2）連接CE，根據正切的定義和勾股定理求出AD，根據正切的定義計算即可．