Question

（本題8分）如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，交⊙O于點D，OF⊥AC于點F．

（1）請寫出兩條與BC有關的正確結論；
（2）當∠D=30°，BC=1時，求圓中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：
（2）  ①；②；③；④；⑤是直角三角形；⑥是等腰三角形． 
（2）

試題分析：（1）根據垂徑定理可以進一步證明△CBE≌△DBE，得出BC=BD
根據直徑所對的圓周角等于90°，可以得出BC⊥AC,進而得出OF∥BC
根據垂徑定理可以得出弧BC和弧BD相等，所以∠BCD=∠A
根據CE⊥BE,根據勾股定理可以得出
根據直徑所對的圓周角等于90°，可以得出是直角三角形
根據垂徑定理可以進一步證明△CBE≌△DBE，得出BC=BD，即是等腰三角形
（2）連接CO
∠D＝30°，同弧所對圓周角相等，所以∠A＝∠D，∴∠A＝30°
因為AB是直徑，所以∠ACB=90°
∴AB=2BC=2
在Rt△AFO中
，根據勾股定理得出，，AC=2AF=
陰影部分面積= S扇形AOC-S△AOC
S△AOC =
因為CO=AO,OF=OF，根據垂徑定理，AF=CF
所以△AOF≌△COF,所以∠COF=∠AOF=60°,
所以∠AOC=120°
所以S扇形AOC =
陰影部分面積=
點評：難度較大，主要在掌握圓的綜合運用，包括圓周角，垂徑定理的運用，勾股定理的運用，主要把握陰影部分面積可以由幾種特殊的圖形加減變化而來。