Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點P的坐標(biāo)為（1，0），將線段OP按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP的2倍，得到線段OP₁；又將線段OP₁按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP₁的2倍，得到線段OP₂；如此下去，得到線段OP₃，OP₄，OP_n（n為正整數(shù)），則點P₆的坐標(biāo)是    ；△P₅OP₆的面積是    ．

Answer 1

【答案】分析：解題的關(guān)鍵是抓住旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心原點，旋轉(zhuǎn)方向逆時針，旋轉(zhuǎn)角度．
解答：解：過P₅作P₅N⊥軸于N，P₅M⊥y軸于M，
∵線段OP按逆時針方向每次旋轉(zhuǎn)45°，
∴旋轉(zhuǎn)6次是45°×6=270°，
∴P₆在y軸的負(fù)半軸，OP₅=2⁵，OP₆=2^6，
由勾股定理得：ON=P₅N=16=P₅M，
∴P₅（-16，-16），P₆（0，-64），
∴△P₅OP₆的面積是OP₆×P₅M=×64×16=512．
點評：本題將一個圖形的旋轉(zhuǎn)放在坐標(biāo)系中來考查，是一道考查數(shù)與形結(jié)合的好試題，也為高中后續(xù)學(xué)習(xí)做了良好的鋪墊．從考試情況看，還有非常多考生沒完全理解旋轉(zhuǎn)的三大要素即中心、方向、角度，故失分的較多．本題綜合考查學(xué)生旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)知識．