【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，CO的延長線交AB于點D.
(1)求證：AO平分∠BAC；
(2)若BC＝6，sin∠BAC＝
，求AC和CD的長．
【答案】(1)證明見解析；（2）AC＝
， CD＝
,
【解析】分析：（1）延長AO交BC于H，連接BO，證明A、O在線段BC的垂直平分線上，得出AO⊥BC，再由等腰三角形的性質即可得出結論；（2）延長CD交⊙O于E，連接BE，則CE是⊙O的直徑，由圓周角定理得出∠EBC=90°，∠E=∠BAC，得出sinE=sin∠BAC，求出CE=
BC=10，由勾股定理求出BE=8，證出BE∥OA，得出
，求出OD=
，得出CD=，而BE∥OA，由三角形中位線定理得出OH=
BE=4，CH=BC=3，在Rt△ACH中，由勾股定理求出AC的長即可．
本題解析：
解：(1)證明：延長AO交BC于H，連接BO.
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴A，O在線段BC的垂直平分線上．∴AO⊥BC.
又∵AB＝AC，∴AO平分∠BAC.
(2)延長CD交⊙O于E，連接BE，則CE是⊙O的直徑．
∴∠EBC＝90°，BC⊥BE.
∵∠E＝∠BAC，∴sinE＝sin∠BAC.
∴
＝
.∴CE＝
BC＝10.
∴BE＝
＝8，OA＝OE＝
CE＝5.
∵AH⊥BC，∴BE∥OA.
∴
＝
，即
＝
，
解得OD＝
.∴CD＝5＋＝
.
∵BE∥OA，即BE∥OH，OC＝OE，∴OH是△CEB的中位線．
∴OH＝BE＝4，CH＝BC＝3.∴AH＝5＋4＝9.
在Rt△ACH中，AC＝
＝
＝3
.
陽光課堂同步練習系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】綜合與探究
如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線
與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線l經過坐標原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標分別為（－2，0），（6，－8）．
（1）求拋物線的函數表達式，并分別求出點B和點E的坐標；
（2）試探究拋物線上是否存在點F，使
≌
，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點P是y軸負半軸上的一個動點，設其坐標為（0，m），直線PB與直線l交于點Q．試探究：當m為何值時，
是等腰三角形．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖, 在東西方向的海岸線MN上有A，B兩港口，海上有一座小島P，漁民每天都乘輪船從A，B 兩港口沿AP，BP的路線去小島捕魚作業．已知小島P在A港的北偏東60°方向，在B港的北偏西45°方向，小島P距海岸線MN的距離為30海里.
(1)求AP，BP的長(參考數據：
≈1.4，
≈1.7，
≈2.2)；
(2)甲、乙兩船分別從A，B兩港口同時出發去小島P捕魚作業，甲船比乙船晚到小島24分鐘．已知甲船速度是乙船速度的1.2倍，利用(1)中的結果求甲、乙兩船的速度各是多少海里/時？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知四邊形ABCD是菱形，AC、BD交于點E，點F在CB的延長線上，連結EF交AB于H，以EF為直徑作⊙O，交直線AD于A、G兩點，交BC于K點．
（1）如圖1，連結AF，求證：四邊形AFBD是平行四邊形；
（2）如圖2，當∠ABC＝90°時，求tan∠EFC的值；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連結OG，點P在弧FG上，過點P作PT∥OF交OG于T，PR∥OG交OF于R點，連結TR，若AG＝2，在點P運動過程中，探究線段TR的長是否為定值，如果是，則求出這個定值；如果不是，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，BC為直徑，∠BAC的平分線與BC和⊙O分別相交于D和E，P為CB延長線上一點，PB＝5，PA＝10，且∠DAP＝∠ADP．
（1）求證：PA與⊙O相切；
（2）求sin∠BAP的值；
（3）求ADAE的值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】（1）如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是AD、DC邊上的點，CE與BF交于點G，BF⊥CE，求證：BF＝CE；
（2）如圖2，矩形ABCD中，AB＝2AD，E、F分別是AD、DC邊上的點，CE與BF交于點G，∠A+∠BGE＝180°，求證：CE＝2BF；
（3）如圖3，若（2）中的四邊形ABCD是平行四邊形，且∠A＜90°，則CE＝2BF是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE．
（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）求證：BC2=2CD·OE；
（3）若cos∠BAD=
，BE=6，求OE的長．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點C與點A重合，點D落到D’處，折痕為EF.
(1)、求證：△ABE≌△AD’F;
(2)、連接CF,判斷四邊形AECF是否為平行四邊形？請證明你的結論。
(3)、若AE=5，求四邊形AECF的周長。
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