Question

21、如圖，已知CE為△ABC中∠C的平分線，AD∥CE交BC延長線于D，如果F為AD的中點，求證：CF⊥CE．

Answer 1

分析：由于CE是角平分線，那么有∠ACE=∠BCE，而CE∥AD，可得∠DAC=∠ACE，∠BCE=∠D，等量代換，可得∠CAD=∠D，根據等角對等邊，有CD=CA，而F是AD中點，通過△ACF≌△DCF，可知CF⊥AD，即∠AFC=90°，再結合CE∥AD，易證∠ECF=90°，從而可證CE⊥CF．

解答：證明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AD∥CE
∴∠CAD=∠ACE，∠D=∠BCE，
∴∠CAD=∠D，
∴CA=CD，
又∵F為AD中點，又FC=FC，
∴△ACF≌△DCF，
∴∠AFC=∠DFC=90°，
即CF⊥AD，
又∵AD∥CE，
∴∠AFC+∠ECF=180°，
∴∠ECF=90°，
∴CF⊥CE．

點評：本題考查了角平分線的性質、平行線的性質與判定等知識．發現并利用△ACF≌△DCF是正確解答本題的關鍵．