Question

用如圖①，②所示的兩個直角三角形（部分邊長及角的度數在圖中已標出），完成以下兩個探究問題：

探究一：將以上兩個三角形如圖③拼接（BC和ED重合），在BC邊上有一動點P．
（1）當點P運動到∠CFB的角平分線上時，連接AP，求線段AP的長；
（2）當點P在運動的過程中出現PA=FC時，求∠PAB的度數．
探究二：如圖④，將△DEF的頂點D放在△ABC的BC邊上的中點處，并以點D為旋轉中心旋轉△DEF，使△DEF的兩直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點，連接MN．在旋轉△DEF的過程中，△AMN的周長是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）如答圖1所示，過點A作AG⊥BC于點G，構造Rt△APG，利用勾股定理求出AP的長度；
（2）如答圖2所示，符合條件的點P有兩個．解直角三角形，利用特殊角的三角函數值求出角的度數；
（3）如答圖3所示，證明△AMD≌△CND，得AM=CN，則△AMN兩直角邊長度之和為定值；設AM=x，求出斜邊MN的表達式，利用二次函數的性質求出MN的最小值，從而得到△AMN周長的最小值．
解答：解：探究一：（1）依題意畫出圖形，如答圖1所示：

由題意，得∠CFB=60°，FP為角平分線，則∠CFP=30°，
∴CF=BC•tan30°=3×=，
∴CP=CF•tan∠CFP=×=1．
過點A作AG⊥BC于點G，則AG=BC=，
∴PG=CG-CP=-1=．
在Rt△APG中，由勾股定理得：
AP===．

（2）由（1）可知，FC=．
如答圖2所示，以點A為圓心，以FC=長為半徑畫弧，與BC交于點P₁、P₂，則AP₁=AP₂=．

過點A過AG⊥BC于點G，則AG=BC=．
在Rt△AGP1中，cos∠P₁AG===，
∴∠P₁AG=30°，
∴∠P₁AB=45°-30°=15°；
同理求得，∠P₂AG=30°，∠P₂AB=45°+30°=75°．
∴∠PAB的度數為15°或75°．

探究二：△AMN的周長存在有最小值．
如答圖3所示，連接AD．

∵△ABC為等腰直角三角形，點D為斜邊BC的中點，
∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°．
∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，
∴∠MDA=∠NDC．
∵在△AMD與△CND中，

∴△AMD≌△CND（ASA）．
∴AM=CN．
設AM=x，則CN=x，AN=AC-CN=BC-CN=-x．
在Rt△AMN中，由勾股定理得：
MN====．
△AMN的周長為：AM+AN+MN=+，
當x=時，有最小值，最小值為+=．
∴△AMN周長的最小值為．
點評：本題是幾何綜合題，考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函數最值等知識點．難點在于第（3）問，由發現并證明△AMD≌△CND取得解題的突破點，再利用勾股定理和二次函數的性質求出最小值．