Question

如圖所示，⊙O′過點O，A，B，O（0，0），A（0，2），B（2，0），圓上一動點P．
（1）求∠OPB；（2）當P到OB距離最遠時，求P點坐標及△POB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，即可求得∠OAB的度數(shù)．根據(jù)所給的坐標發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形；
（2）根據(jù)圓的軸對稱性，當P到弦的垂直平分線和優(yōu)弧的交點時和OB的距離最遠．根據(jù)垂徑定理的推論知弦的垂直平分線必過圓心，只需進一步求得O′C的長．
解答：解：（1）∠OPB=∠OAB，∵AB是⊙O直徑，
∴∠AOB=90°，AO=OB=2，∠OAB=45°，∠OAB=∠OPB=45°．

（2）如圖，當P運動到距離OB最高時，
作OB中垂線交⊙O于P，N，交OB于C，PC＞NC，PC最長．
∵AB==2．OC=OB=×2=1．∴O′C==1，
∴P（1，1+）．S_△OPB=•PC•OB=×2×（1+）=1+．
點評：此題中主要是能夠根據(jù)點的坐標發(fā)現(xiàn)特殊三角形求解．