Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點D在BC上運動（點D不能到達點B、C），連接AD，作∠ADE=45°，DE交AC于E．當△ADE為等腰三角形時，線段AE的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：分類討論：當EA=ED，△ADE為等腰三角形，由∠ADE=45°得到∠EAD=45°，∠AED=90°，則AD平分∠BAC，AD⊥BC，DE⊥AC，然后根據等腰直角三角形的性質得到DE=AC=1；當DA=DE，△ADE為等腰三角形，由∠ADE=45°得到∠ADB+∠EDC=180°-45°=135°，而∠EDC+∠DEC=135°，所以∠ADB=∠DEC，根據三角形相似的判定得到△ABD∽△DCE，則BD：CE=AB：DC=AD：DE，利用AD=DE得到AB=DC=2，BD=CE；由于∠BAC=90°，AB=AC=2，跟級等腰直角三角形的性質得BC=2，所以BD=2-2=EC，然后根據AE=AC-EC進行計算．
解答：解：當EA=ED，△ADE為等腰三角形，
∵∠ADE=45°，
∴∠EAD=45°，∠AED=90°，
∵∠BAC=90°，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，DE⊥AC，如圖，
∵AB=AC=2，
∴DE=AC=1；
當DA=DE，△ADE為等腰三角形，如圖，
∵∠ADE=45°，
∴∠ADB+∠EDC=180°-45°=135°，
而∠EDC+∠DEC=135°，
∴∠ADB=∠DEC，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴BD：CE=AB：DC=AD：DE，
而AD=DE，
∴AB=DC=2，BD=CE，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴BC=AC=2，
∴BD=2-2=EC，
∴AE=AC-EC=2-（2-2）=4-2．
故答案為1或4-2．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應線段的比等于相似比．也考查了等腰直角三角形的性質．