Question

【題目】如圖，Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標系中，直角邊OA與x軸重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB繞點O逆時針旋轉90°，點B旋轉到點C的位置，拋物線y=ax2+bx經過點C、A.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在x軸上方的拋物線上有一動點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點M，分別過點P，點M作x軸的垂線，交x軸于R、S兩點，問：四邊形PRSM的周長是否有最大值？如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由．

（3）在x軸上方的拋物線上是否存在點Q,過點Q作x軸的垂線，垂足為H,使得以O、Q、H為頂點的三角形與OAB相似，如果存在，直接寫出點Q的坐標，如果不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）有，最大值為10，過程略；（3）存在，Q1(2,4)；Q2 ().

【解析】

（1）根據旋轉的性質可求出C的坐標和A的坐標，又因為拋物線經過原點，故設y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出該拋物線的解析式；

（2）四邊形PRSM的周長有最大值，設點P的坐標為P（a，-a2+4a）則由拋物線的對稱性知OR=AS，所以RS=PM=4-2a，PR=MS=-a2+4a，則矩形PRSM的周長L=2[4-2a+（-a2+4a）]=-2（a-1）2+10，利用函數的性質即可求出四邊形PRSM的周長的最大值．

（3）分別計算△OHQ∽△BAO和△OHQ∽△OAB時Q點的坐標，分析后即可解答.

解：（1）∵OA=4，AB=2，△AOB繞點O逆時針旋轉90°，點B旋轉到點C的位置，∴點C的坐標為（2，4）．

又∵點A的坐標為（4，0），拋物線經過原點，故設y=ax2+bx（a≠0），把（2，4），（4，0）代入，得 ，

解得，所以拋物線的解析式為y=-x2+4x；

（2）有最大值．如圖，

理由如下：設點P的坐標為P（a，-a2+4a），PR=MS=-a2+4a，

則由拋物線的對稱性知OR=AS，所以RS=PM=4-2a，

則矩形PRSM的周長L=2[4-2a+（-a2+4a）]=-2（a-1）2+10，

所以當a=1時，矩形PRSM的周長有最大值，Lmax=10．

（3）設H點坐標為（n，0）,則OH=n，QH=-n+4n，

①假設△OHQ∽△BAO，則 ,

可得，解得=2，=0（舍去），

代入可得Q點坐標為（2，4）；

②假設△OHQ∽△OAB，則,

，解得= ，=0（舍去），

代入可得Q點坐標為（，）；

綜上所述Q點坐標為（2，4）或（，）.