Question

10．在平面直角坐標系中，已知A（0，4）、B（1，0）、C（4，0），D為線段BC上的動點，以AD為邊向右側作正方形ADEF，連CF交DE于P，則CP的最大值為1．

Answer 1

分析 作FQ⊥y軸于點Q，證△AFQ≌△DAO得FQ=OA=OC=4，結合FQ∥OC且∠FQO=90°知四邊形OCFQ是矩形，從而得∠PCD=∠AOD=90°，設OD=x，則CD=4-x （1≤x≤4），再證△AOD∽△DCP得$\frac{AO}{DC}$=$\frac{OD}{PC}$，即$\frac{4}{4-x}$=$\frac{x}{PC}$，PC=-$\frac{1}{4}$x²+x=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，據此可得答案．

解答 解：如圖，作FQ⊥y軸于點Q，

∴∠FQA=∠AOD=90°，
∴∠FAQ+∠AFQ=90°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴FA=AD，∠FAD=90°，
∴∠FAQ+∠DAO=90°，
∴∠AFQ=∠DAO，
在△AFQ和△DAO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FQA=∠AOD}\\{∠AFQ=∠DAO}\\{FA=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFQ≌△DAO（AAS），
∴FQ=OA=OC=4，
又FQ∥OC，且∠FQO=90°，
∴四邊形OCFQ是矩形，
∴∠PCD=∠AOD=90°，
∵∠ADE=90°，
∴△AOD∽△DCP，
∴$\frac{AO}{DC}$=$\frac{OD}{PC}$，
設OD=x，則CD=4-x  （1≤x≤4），
則$\frac{4}{4-x}$=$\frac{x}{PC}$，
即PC=-$\frac{1}{4}$x²+x=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，
∴當x=2時，PC_最大=1，
故答案為：1．

點評 本題主要考查全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、相似三角形的判定與性質及二次函數的最值，證∠PCD=∠AOD=90°利用相似三角形的判定與性質得出PC的長度表達式是解題的關鍵．