Question

2．兩個半徑為1的⊙O₁與⊙O₂相外切，又同時分別與⊙O相切，切點分別為A、B、C且∠O=90°，則$\widehat{AB}$$+\widehat{BC}$$+\widehat{AC}$的長為（　　）

• A． $\sqrt{2}$π
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$π
• C． $\frac{2\sqrt{2}-1}{4}$π
• D． 2π

Answer 1

分析 根據題意和相切兩圓的性質得出OO₁=OO₂=OC+1，O₁ O₂=O₁ A+O₂ A=2，證出△OO₁O₂是等腰直角三角形，得出OO₁=$\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{2}$-1，由弧長公式即可得出結果．

解答 解：如圖所示：連接OO₁、O${\;}_{{\;}_{1}}$O₂、OO₂，
根據題意得：OO₁=OO₂=OC+1，O₁ O₂=O₁ A+O₂ A=2，
∵∠O=90°，
∴∠AO₁C+∠AO₂B=90°，△OO₁O₂是等腰直角三角形，
∴OO₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∴OC=$\sqrt{2}$-1，
∴$\widehat{AB}$$+\widehat{BC}$$+\widehat{AC}$的長=$\frac{90π×1}{180}$+$\frac{90π（\sqrt{2}-1）}{180}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$π．
故選：B．

點評 本題考查了相切兩圓的性質、等腰直角三角形的判定與性質、弧長公式；熟練掌握兩圓的性質，求出⊙O的半徑是解決問題的關鍵．