Question

如圖,四邊形內(nèi)接于⊙,是⊙的直徑,,垂足為,平分．

（1）求證：是⊙的切線;
（2）若,求的長(zhǎng)．

Answer 1

(1)證明見(jiàn)解析;（2）BD的長(zhǎng)是4cm．

試題分析：（1）連接OA,根據(jù)角之間的互余關(guān)系可得∠OAE=∠DEA=90°,故AE⊥OA,即AE是⊙O的切線;
（2）根據(jù)圓周角定理,可得在Rt△AED中,∠AED=90°,∠EAD=30°,有AD=2DE;在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ABD=30°,有BD=2AD=4DE,即可得出答案．
試題解析：（1）連接OA,

∵DA平分∠BDE,
∴∠BDA=∠EDA．
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠OAD=∠EDA,
∴OA∥CE．
∵AE⊥DE,
∴∠AED=90°．
∴∠OAE=∠DEA=90°．
∴AE⊥OA．
∴AE是⊙O的切線;
（2）∵BD是直徑,
∴∠BCD=∠BAD=90°．
∵∠DBC=30°,∠BDC=60°,
∴∠BDE=120°．
∵DA平分∠BDE,
∴∠BDA=∠EDA=60°．
∴∠ABD=∠EAD=30°．
∵在Rt△AED中,∠AED=90°,∠EAD=30°,
∴AD=2DE．
∵在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ABD=30°,
∴BD=2AD=4DE．
∵DE的長(zhǎng)是1cm,
∴BD的長(zhǎng)是4cm．