Question

（2009•欽州）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的點O為圓心，OB的長為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D．
（1）求證：BC=CD；
（2）求證：∠ADE=∠ABD；
（3）設AD=2，AE=1，求⊙O直徑的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由切線長定理，只需證明CB為⊙O的切線，再由已知的OB與AC切于點D，即可得出證明；
（2）根據已知及等角的余角相等不難求得結論．
（3）易得：△ADE∽△ABD，進而可得=；代入數據計算可得BE=3；即⊙O直徑的長為3．
解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，
∴OB⊥BC．（1分）
∵OB是⊙O的半徑，
∴CB為⊙O的切線．（2分）
又∵CD切⊙O于點D，
∴BC=CD．（3分）

（2）證明：∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BDE=90°．
∴∠ADE+∠CDB=90°．（4分）
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°．（5分）
由（1）得BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD．
∴∠ADE=∠ABD．（6分）

（3）解：由（2）得，∠ADE=∠ABD，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABD．（7分）
∴=．（8分）
∴=．
∴BE=3．（9分）
∴所求⊙O的直徑長為3．（10分）
點評：此題主要考查圓的切線的判定及圓周角定理的運用和相似三角形的判定和性質的運用．