Question

（2009•欽州）如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與坐標軸交于A、B、C三點，A點的坐標為（-1，0），過點C的直線y=x-3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PH⊥OB于點H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）填空：點C的坐標是______，b=______，c=______；
（2）求線段QH的長（用含t的式子表示）；
（3）依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于直線y=x-3過C點，因此C點的坐標為（0，-3），那么拋物線的解析式中c=-3，然后將A點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出b的值；
（2）求QH的長，需知道OQ，OH的長．根據CQ所在直線的解析式即可求出Q的坐標，也就得出了OQ的長，然后求OH的長．
在（1）中可得出拋物線的解析式，那么可求出B的坐標．在直角三角形BPH中，可根據BP=5t以及∠CBO的正弦值（可在直角三角形COB中求出）．得出BH的長，根據OB的長即可求出OH的長．然后OH，OQ的差的絕對值就是QH的長；
（3）本題要分①當H在Q、B之間．②在H在O，Q之間兩種情況進行討論；根據不同的對應角得出的不同的對應成比例線段來求出t的值．
解答：解：（1）（0，-3），b=-，c=-3；

（2）由（1），得y=x²-x-3，它與x軸交于A，B兩點，得B（4，0）．
∴OB=4，
又∵OC=3，
∴BC=5．
由題意，得△BHP∽△BOC，
∵OC：OB：BC=3：4：5，
∴HP：HB：BP=3：4：5，
∵PB=5t，∴HB=4t，HP=3t．
∴OH=OB-HB=4-4t．
由y=x-3與x軸交于點Q，得Q（4t，0）．
∴OQ=4t．
①當H在Q、B之間時，QH=OH-OQ=（4-4t）-4t=4-8t．
②當H在O、Q之間時，QH=OQ-OH=4t-（4-4t）=8t-4．
綜合①，②得QH=|4-8t|；

（3）存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似．
①當H在Q、B之間時，QH=4-8t，
若△QHP∽△COQ，則QH：CO=HP：OQ，得=，
∴t=．
若△PHQ∽△COQ，則PH：CO=HQ：OQ，得=，
即t²+2t-1=0．
∴t₁=-1，t₂=--1（舍去）．
②當H在O、Q之間時，QH=8t-4．
若△QHP∽△COQ，則QH：CO=HP：OQ，得=，
∴t=．
若△PHQ∽△COQ，則PH：CO=HQ：OQ，得=，
即t²-2t+1=0．
∴t₁=t₂=1（舍去）．
綜上所述，存在t的值，t₁=-1，t₂=，t₃=．
點評：本題著重考查了二次函數的性質、三角形相似等重要知識點，要注意的是（3）題要分Q的不同位置進行分類討論，而在每種分類情況下又要根據不同的對應相似三角形進一步分類討論，不要漏解．