Question

【題目】如圖1，已知點(diǎn)，的邊與軸交于點(diǎn)，且為中點(diǎn)，雙曲線經(jīng)過兩點(diǎn)。

（1）求的值；

（2）點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求滿足要求的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）以線段為對角線作正方形（如圖3），點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，交于，當(dāng)在上運(yùn)動時，的值是否發(fā)生改變？若改變，求出其變化范圍；若不改變，請求出其值，并給出你的證明。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；；；（3），見解析.

【解析】

（1）設(shè)D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出t的值即可；（2）由（1）知k=4可知反比例函數(shù)的解析式為y=，再由點(diǎn)P在雙曲線y＝ 上，點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)Q（0，y），P（x，），再分以AB為邊和以AB為對角線兩種情況求出x的值，故可得出P、Q的坐標(biāo)；（3）連NH、NT、NF，易證NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN=HT，由此即可得出結(jié)論．

（1）設(shè)，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）∵由（1）知，

∴反比例函數(shù)的解析式為，

∵點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，

∴設(shè)，

①當(dāng)為邊時：

如圖1，若為平行四邊形，

則，

解得：，

此時；

如圖2，若來平行四邊形，

則，

解得，

此時；

②

如圖3，當(dāng)為對角線時，

，且；

∴，

解得：，

∴；

故，；；；

（3）的值不發(fā)生改變，

理由：如圖4，連，

∵是線段的垂直平分線，

∴，

∵四邊形是正方形，

∴，

在與中，，

∴，

∴，

∴，

四邊形中，，而，

所以，，所以，四邊形內(nèi)角和為360°，

所以，

∴，

∴