Question

19．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于點E．
（1）求證：∠BCO=∠D；
（2）若CD=8，AE=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質與圓周角定理，易得∠BCO=∠B=∠D；
（2）由垂徑定理可求得CE與DE的長，然后證得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的對應邊成比例，求得BE的長，繼而求得直徑與半徑．

解答 （1）證明：∵OB=OC，
∴∠BCO=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵∠B=∠D，∠BEC=∠DEC，
∴△BCE∽△DAE，
∴AE：CE=DE：BE，
∴3：4=4：BE，
解得：BE=$\frac{16}{3}$，
∴AB=AE+BE=$\frac{25}{3}$，
∴⊙O的半徑為：$\frac{25}{6}$．

點評 此題考查了圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質．注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．證得△BCE∽△DAE是關鍵．