Question

【題目】如圖，已知拋物線經過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，頂點為C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且A、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標；

（3）P是拋物線上的第一象限內的動點，過點P作PMx軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P、M、A為頂點的三角形△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2+2x；（2）D1（-1，-1），D2（-3，3），D3（1，3）；（3）存在，P（，）或（3，15）．

【解析】

（1）根據拋物線過A（2，0）及原點可設y=a（x-2）x，然后根據拋物線y=a（x-2）x過B（3，3），求出a的值即可；

（2）首先由A的坐標可求出OA的長，再根據四邊形AODE是平行四邊形，D在對稱軸直線x=-1右側，進而可求出D橫坐標為：-1+2=1，代入拋物線解析式即可求出其橫坐標；

（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，從而表示出點P的坐標，代入求得的拋物線的解析式即可求得t的值，從而確定點P的坐標．

解：（1）根據拋物線過A（-2，0）及原點，可設y=a（x+2）（x-0），

又∵拋物線y=a（x+2）x過B（-3，3），

∴-3（-3+2）a=3，

∴a=1，

∴拋物線的解析式為y=（x+2）x=x2+2x；

（2）①若OA為對角線，則D點與C點重合，點D的坐標應為D（-1，-1）；

②若OA為平行四邊形的一邊，則DE=OA，∵點E在拋物線的對稱軸上，

∴點E橫坐標為-1，

∴點D的橫坐標為1或-3，代入y=x2+2x得D（1，3）和D（-3，3），

綜上點D坐標為（-1，-1），（-3，3），（1，3）．

（3）∵點B（-3，3）C（-1，-1），

∴△BOC為直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，

①如圖1，

若△PMA∽△COB，設PM=t，則AM=3t，

∴點P（3t-2，t），

代入y=x2+2x得（-2+3t）2+2（-2+3t）=t，

解得t1=0（舍），t2=，

∴P(，)；

②如圖2，

若△PMA∽△BOC，

設PM=3t，則AM=t，點P（t-2，3t），代入y=x2+2x得（-2+t）2+2（-2+t）=3t，

解得t1=0（舍），t2=5，

∴P（3，15）

綜上所述，點P的坐標為(，)或（3，15）．