Question

【題目】如圖，A、B、C為⊙O上的點，PC過O點，交⊙O于D點，PD=OD，若OB⊥AC于E點．
（1）判斷A是否是PB的中點，并說明理由；
（2）若⊙O半徑為8，試求BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：A是PB的中點，

理由：連接AD，

∵CD是⊙O的直徑，

∴AD⊥AC，

∵OB⊥AC，

∴AD∥OB，

∵PD=OD，

∴PA=AB，

∴A是PB的中點

（2）∵AD∥OB，

∴△APD∽△BPO，

∴ ，

∵⊙O半徑為8，

∴OB=8，

∴AD=4，

∴AC= =4 ，

∵OB⊥AC，

∴AE=CE=2 ，

∵OE= AD=2，

∴BE=6，

∴BC= =4 ．

【解析】（1）連接AD，由CD是⊙O的直徑，得到AD⊥AC，推出AD∥OB，根據平行線等分線段定理得到PA=AB；（2）根據相似三角形的性質得到OB=8，求得AD=4，根據勾股定理得到AC= =4 ，根據垂徑定理得到AE=CE=2 ，由勾股定理即可得到結論
【考點精析】掌握勾股定理的概念和垂徑定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．