Question

（2011•寶安區一模）如圖，A、B、C是三座城市，A市在B市的正西方向．C市在A市北偏東60°的方向，在B市北偏東30°的方向．這三座城市之間有高速公路l₁、l₂、l₃相互貫通．小亮駕車從A市出發，以平均每小時80公里的速度沿高速公路l₂向C市駛去，3小時后小亮到達了C市．
（1）求C市到高速公路l₁的最短距離；
（2）如果小亮以相同的速度從C市沿C→B→A的路線從高速公路返回A市．那么經過多長時間后，他能回到A市？（結果精確到0.1小時）（

3

≈1.732）

Answer 1

分析：（1）過點C作CD⊥l₁于點D，得直角三角形ADC，先由已知求出AC，再根據含30度的直角三角形的性質求出C市到高速公路l₁的最短距離；
（2）解直角三角形CBD求出BC，再由已知得出三角形ABC為等腰三角形即AB=BC，從而求出經過多長時間后，他能回到A市．

解答：（1）解：過點C作CD⊥l₁于點D，由已知得 …（1分）
AC=3×80=240（km），∠CAD=30° …（2分）
∴CD=

1

2

AC=

1

2

×240=120（km）…（3分）
∴C市到高速公路l₁的最短距離是120km．…（4分）

（2）解：由已知得∠CBD=60°
在Rt△CBD中，
∵sin∠CBD=

CD

BC

∴BC=

CD

sin∠CBD

=

120

sin60°

=80

3

…（5分）
∵∠ACB=∠CBD-∠CAB=60°-30°=30°
∴∠ACB=∠CAB=30°
∴AB=BC=80

3

…（6分）
∴t=

AB+BC

80

=

80 3 +80 3

80

=2

3

≈2×1.732≈3.5…（7分）
答：經過約3.5小時后，他能回到A市．…（8分）

點評：此題考查的知識點是解直角三角形的應用，關鍵是構建直角三角形，運用含30度的直角三角形的性質、三角函數求解．