Question

2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=3x+1的圖象與y軸交于點A，與反比例函數y=$\frac{k}{x}$在第一象限內的圖象交于點B，且點B的橫坐標為1，過點A作AC⊥y軸交反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象于點C，連接BC．
（1）求反比例函數的表達式及△ABC的面積；
（2）直接寫出當x＜1時，y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先由一次函數y=3x+1的圖象過點B，且點B的橫坐標為1，將x=1代入y=3x+1，求出y的值，得到點B的坐標，再將B點坐標代入y=$\frac{k}{x}$，利用待定系數法即可求出反比例函數的表達式；根據一次函數y=3x+1的圖象與y軸交于點A，求出點A的坐標為（0，1），再將y=1代入y=$\frac{4}{x}$，求出x的值，那么AC=4．過B作BD⊥AC于D，則BD=y_B-y_C=4-1=3，然后根據S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD，將數值代入計算即可求解；
（2）根據x＜1時，得到$\frac{4}{y}＜1$，于是得到y的取值范圍．

解答 解：（1）∵一次函數y=3x+1的圖象過點B，且點B的橫坐標為1，
∴y=3×1+1=4，
∴點B的坐標為（1，4）．
∵點B在反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函數的表達式為y=$\frac{4}{x}$，
∵一次函數y=3x+1的圖象與y軸交于點A，
∴當x=0時，y=1，
∴點A的坐標為（0，1），
∵AC⊥y軸，
∴點C的縱坐標與點A的縱坐標相同，是1，
∵點C在反比例函數y=$\frac{4}{x}$的圖象上，
∴當y=1時，1=$\frac{4}{x}$，解得x=4，
∴AC=4．
過B作BD⊥AC于D，則BD=y_B-y_C=4-1=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×4×3=6；

（2）由圖形得：∵當0＜x＜1時，$\frac{4}{y}＜1$，
∴y＞4，
當x＜0時，y＜0．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求反比例函數的解析式，反比例函數圖象上點的坐標特征，平行于y軸的直線上點的坐標特征，三角形的面積，難度適中．求出反比例函數的解析式是解題的關鍵．