Question

操作與探究：
如圖1，在正方形ABCD中，AB=2，將一塊足夠大的三角板的直角頂點P放在正方形的中心O處，將三角板繞O點旋轉，三角板的兩直角邊分別交邊AB、BC于點E、F．
（1）試猜想PE、PF之間的大小關系，并證明你的結論；
（2）求四邊形PEBF的面積；
（3）現將直角頂點P移至對角線BD上其他任意一點，PE、PF之間的大小關系是否改變？并說明理由．

Answer 1

解：（1）PE=PF．
作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N．
∵ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC．
∴PM=PN．
在四邊形BEPF中，
∵∠EBF=∠EPF=90°，
∴∠PFB+∠PEB=180°．
又∵∠PEB+∠PEM=180°，
∴∠PFB=∠PEM．
∴Rt△PEM≌Rt△PFN，（AAS）
∴PE=PF；

（2）由（1）知四邊形PEBF的面積等于正方形PMBN的面積．
∵BO=OD，OM∥AD，
∴BM=AM=1．
∴S_{四邊形PEBF}=1；

（3）不會改變．理由如下：
作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N．
∵ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC．
∴PM=PN．
在四邊形BEPF中，
∵∠EBF=∠EPF=90°，
∴∠PFB+∠PEB=180°．
又∵∠PEB+∠PEM=180°，
∴∠PFB=∠PEM．
∴Rt△PEM≌Rt△PFN，（AAS）
∴PE=PF．
分析：（1）猜想：PE=PF．作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N．運用AAS證明△PME與△PNF全等；
（2）由（1）可知四邊形PEBF的面積等于正方形PMBN的面積；
（3）PE、PF之間的大小關系不會改變．理由同（1）．
點評：此題考查正方形的性質及全等三角形的判定與性質，綜合性較強．