Question

【題目】如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，那么稱這樣的方程為“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8=0的兩個根是2和4，則方程x2﹣6x+8=0就是“倍根方程”．

（1）若一元二次方程x2﹣3x+c=0是“倍根方程”，則c=　 　；

（2）若（x﹣2）（mx﹣n）=0（m≠0）是“倍根方程”，求代數式4m2﹣5mn+n2的值；

（3）若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之間的關系．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）4m2﹣5mn+n2=0；（3）a，b，c之間的關系是2b2﹣9ac=0.7．

【解析】【試題分析】（1）根據倍根方程的定義，利用根與系數的關系，得x1+x2=3，x1x2=c，即x1+2x1=3，2x12=c，求出c=2；

（2） 根據倍根方程的定義， ，進行分類討論，當x2=1時， ，即m=n，代入代數式4m2﹣5mn+n2=0；當x2=4時， ，即n=4m，代入代數式4m2﹣5mn+n2=0．

（3）根據倍根方程的定義，引入參數t, a（x﹣t）（x﹣2t）=0然后對應ax2+bx+c=0，則

b=-3at, ,然后消去參數t,即a，b，c之間的關系是2b2﹣9ac=0.

【試題解析】

（1）∵一元二次方程x2﹣3x+c=0是“倍根方程”，

∵x1+x2=3，x1x2=c，即x1+2x1=3，2x12=c，

∴c=2，

故答案為：2；

（2）解方程（x﹣2）（mx+n）=0（m≠0）得，x1=2， ．

∵方程兩根是2倍關系，

∴x2=1，

當x2=1時， ，即m=n，

代入代數式4m2﹣5mn+n2=0，

當x2=4時， ，即n=4m，

代入代數式4m2﹣5mn+n2=0．

綜上所述，4m2﹣5mn+n2=0；

（3）根據“倍根方程”的概念設一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根為t和2t．

∴原方程可以改寫為a（x﹣t）（x﹣2t）=0，

∴ax2+bx+c=ax2﹣3atx+2at2，

∴．

解得2b2﹣9ac=0．

∴a，b，c之間的關系是2b2﹣9ac=0.