Question

已知關于x的一元二次方程x²+（m-2）x-m-1=0．
（1）求證：無論m取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若這個方程的兩個實數根為x₁、x₂，滿足x₁²+x₂²=41，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于無論m取何值時，方程總有兩個不相等的實數根，所以證明判別式是正數即可；
（2）利用根與系數的關系可以得到如果把所求代數式利用完全平方公式變形，結合前面的等式即可 求解．
解答：解：（1）∵△=（m-2）²+4（m+1）=m²-4m+4+4m+4=m²+8＞0，
∴無論m取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）∵這個方程的兩個實數根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-（m-2），x₁•x₂=-m-1，
而x₁²+x₂²=41，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=41，
∴（m-2）²+2m+2=41，
∴m²-4m+4+2m-39=0，
m²-2m-35=0，
∴m=-5或7．
點評：本題主要考查一元二次方程根的判別式和根與系數的關系的應用，同時考查了學生的綜合應用能力及推理能力．