Question

如圖，在梯形紙片ABCD中，BC∥AD，∠A+∠D=90°，tanA=2，過點B作BH⊥AD于H，BC=BH=2．動點F從點D出發，以每秒1個單位的速度沿DH運動到點H停止，在運動過程中，過點F作FE⊥AD交折線D-C-B于點E，將紙片沿直線EF折疊，點C、D的對應點分別是點C₁、D₁．設F點運動的時間是x秒（x＞0）．
（1）當點E和點C重合時，求運動時間x的值；
（2）在整個運動過程中，設△EFD₁或四邊形EFD₁C₁與梯形ABCD重疊部分面積為S，請直接寫出S與x之間的函數關系式和相應自變量x的取值范圍；
（3）平移線段CD，交線段BH于點G，交線段AD于點P．在直線BC上存在點I，使△PGI為等腰直角三角形．請求出線段IB的所有可能的長度．

Answer 1

分析：（1）過C作GC∥AB交AD于G，通過勾股定理就可以求出AH=1，AB=

5

，再得出四邊形ABCG是平行四邊求出DH，過C作CM⊥AD交AD于M，求出DM的值即可；
（2）分四種情況討論，如圖4，當0＜x≤3.5時，如圖5，3.5＜x≤4時，作GM⊥AD于M，如圖6，當4＜x≤5時，作GM⊥AD于M，當5＜x≤6時，可以分別求出S與x之間的環數關系式；
（3）分三種情況：當點P為直角頂點時，當點I為直角頂點時，當點G為直角頂點時，利用全等三角形的性質就可以求出結論．

解答：解：（1）過C作GC∥AB交AD于G，
∴∠CGD=∠A，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠CGD+∠D=90°，
∴∠DCG=90°．
在Rt△AHB中，tanA=2，BH=2，
∴AH=1，AB=

5

，
∵BC∥AD，CG∥AB，
∴四邊形ABCG是平行四邊形，
∴AG=BC=2，CG=AB=

5

，
∴CD=2

5

，GD=5，
∴DH=6．
過C作CM⊥AD交AD于M，
∴DM=4，當點E和點C重合時x=4．

（2）如圖4，當0＜x≤3.5時，
S=

1

2

D₁F•EF=

1

2

x•

1

2

x=

1

4

x²；
如圖5，3.5＜x≤4時，作GM⊥AD于M，
S=

1

2

D₁F•EF-

1

2

D₁A•GM．
D₁A=2x-7
設GM=a，則AM=

1

2

a，
∵

GM

D1M

=

1

2

a，
∴

a

2x-7+ 1 2 a

=

1

2

，
∴a=

4x-14

3

，
即GM=

4x-14

3

．
∴S=

1

4

x²-

1

2

（2x-7）×

4x-14

3

；
=-

13

12

x²+

28

3

x-

49

3

；
如圖6，當4＜x≤5時，作GM⊥AD于M，
S=

1

2

（C₁E+D₁F）×2-

1

2

D₁A•GM
=

1

2

（x-4+x）×2-

1

2

（2x-7）×

4x-14

3

=-

4

3

x²+

34

3

x-

61

3

；

當5＜x≤6時，
S=

1

2

（BE+AF）•EF
=

1

2

（6-x+7-x）×2
=13-2x．

（3）①如圖1
當點P為直角頂點時，作IO⊥AD于O，
∴∠POI=90°．∠GPI=90°．
∴∠GPH+∠IPO=90°，∠IPO+∠PIO=90°，
∴∠GPH=∠PIO．
∵△PGI是等腰直角三角形，
∴GP=IP．
∵BH⊥AD，
∴∠BHP=90°，
∴∠BHP=∠POI．
在△GHP和△POI中，

∠BHP=∠POI ∠GPH=∠PIO GP=PI

，
∴△GHP≌△POI，
∴HP=OI，GH=PO．
∵GP∥CD，
∴∠GPH=∠D．
∵∠A+∠D=90°，
∴∠A+∠GPH=90°，
∵∠A+∠ABH=90°，
∴∠ABH=∠GPH．
∵tanA=2，
∴tan∠ABH=tan∠GPH=

1

2

，
∴GH=

1

2

HP=

1

2

IO=1，
∴IB=2+1=3；
②如圖2，當點I為直角頂點時，作IO⊥AD于O，
同理可以得出：△BGI≌△OPI，
∴IP=IO．
∵IO=BH=2，
∴IB=2；
③如圖3，當點G為直角頂點時，

同理可以得出：△BGI≌△HPG，
∴BI=GH，GB=HP．
∵GH=

1

2

HP，
∴GH=

1

2

BG，
∴GH=

1

3

BH=

2

3

，
∴BI=

2

3

．
綜上所述，IB的長度是3，2，

2

3

．

點評：本題考查了平行四邊形的性質的運用，軸對稱的性質的運用，三角形的面積公式的運用，梯形的面積公式的運用，分段函數的解法的運用，三角函數值的運用，勾股定理的運用，等腰直角三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時尋找分段函數的分段點是難點，解答時考慮不同情況的S的值如何的表示是關鍵．