Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點D是射線CA上的一個動點 （不與A、C重合），DE⊥直線AB于E點，點F是BD的中點，過點F作FH⊥直線AB于H點，連接EF，設AD=x．
（1）①若點D在AC邊上，求FH的長（用含x的式子表示）；
②若點D在射線CA上，△BEF的面積為S，求S與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．
（2）若點D在AC邊上，點P是AB邊上的一個動點，DP與EF相交于O點，當DP+FP的值最小時，猜想DO與PO之間的數量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）①在Rt△ABC中，由勾股定理求AB，依題意可證△ADE∽△ABC，利用相似比求DE，由中位線定理求FH；
②當點D在AC邊上時（如圖1），直接利用三角形面積公式，求S與x的函數關系式，
當點D在CA延長線上時（如圖2），由△ADE∽△ABC求DE，AE，再求FH，BE，求S與x的函數關系式；
（2）猜想：DO=3PO．作點F關于AB的對稱點F′，連接FF′則FF′⊥AB于H，連接DF′交EF于O，交AB于P，此時DP+FP的值最�。�
連接EF′，可判斷四邊形DEF′F為平行四邊形，DO=OF′，由DE=2HF′，DE∥HF′，可得DP=2PF′，即DO+OP=2（DO-OP），解得DO=3PO．
解答：解：（1）①
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴，
方法一：，
∵∠AED=90°，∴，
∵∠DEB=90°，F是BD的中點，
∴EF=BF，
∵FH⊥AB，
∴EH=BH
∴；

方法二：∵∠AED=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∵∠DEB=90°，F是BD的中點，
∴EF=BF
∵FH⊥AB∴EH=BH∴，
②∵△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
有兩種情況：（Ⅰ）當點D在AC邊上時，如圖1：
∵，
∴，
∴，（0＜x＜8），
（Ⅱ）當點D在CA延長線上時，如圖2：
同理得：，
∵，
∴，
∴，（x＞0），
（2）猜想：DO=3PO，
證明：作點F關于AB的對稱點F′，連接FF′則FF′⊥AB于H，連接DF′交EF于O，交AB于P，此時DP+FP的值最小時．連接EF′．
∵，FH=F′H，
∴FF′=DE又∵FF′∥DE，
∴四邊形DEF′F是平行四邊形，
方法一：如圖3，在△DPE與△F′PH中，
∵∠DEP=∠F′HP=90°∠DPE=∠F′PH，
∴△DPE∽△F′PH，
∴，∴DP=2PF′，
∴DO+PO=2（DO-PO）化簡得：DO=3PO，
方法二：連接OH如圖4：
∵OE=OF，FH=F′H，
∴OH∥EF，且OH=EF，
∴△OPH∽△F′PE，
∴，∴DO=OF′=3PO，
方法三：取PB的中點M，連接FM如圖5：
∵FH=F′H，，
∴FF′=DE，又∵FF′∥DE，
∴四邊形DEF′F是平行四邊形，
∴OE=OF，
∵DF=BF，PM=BM，
∴FM∥DP，∴，，
∴DP=4PO，
∴DO=3PO．
點評：本題考查了相似形的綜合運用．關鍵是利用三角形相似求邊長，根據D點的位置分類求函數關系式，根據對稱性畫圖，求當DP+FP的值最小時的圖形，根據平行四邊形的判定與性質，三角形相似求DO與PO之間的數量關系．