Question

8．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（-1，$\frac{3}{4}$），B（2，0）在拋物線1₁：y=ax²+bx+1（a，b為常數，且a≠0）上，直線1₂經過拋物線1₁的頂點且與y軸垂直，垂足為點D．
（1）求l₁的解析式，并寫出它的對稱軸和頂點坐標；
（2）設l₁上有一動點P從點A出發，沿拋物線從左向右運動，點P的縱坐標y_p也隨之以每秒2個單位長的速度變化，設點P運動的時間為t（秒），連接OP，以線段OP為直徑作⊙F．
①求y_p關于t的表達式，并寫出t的取值范圍；
②當點P在起點A處時，直線l₂與⊙F的位置關系是相切，在點P從點A運動到點D的過程中，直線1₂與⊙F是否始終保持著上述的位置關系？請說明理由；
（3）在（2）條件下，當點P開始從點A出發，沿拋物線從左到右運動時，直線l₂同時向下平移，垂足D的縱坐標y_D以每秒3個單位長度速度變化，當直線l₂與⊙F相交時，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，$\frac{3}{4}$），B（2，0）兩點代入拋物線y=ax²+bx+1解析式，列方程組即可解決問題．
（2）①分兩種情形討論①0≤t≤$\frac{1}{8}$，②t＞$\frac{1}{8}$，分別求解即可．②當點P在起點A處時，直線l₂與⊙F的位置關系是相切．結論：在點P從點A運動到點D的過程中，直線1₂與⊙F始終保持相切，只要求出圓心到直線y=1的距離，以及圓的半徑即可判斷．
（3）剛開始時直線l₂與⊙F是相切的，接下來是相交的，只要求出第二次相切時的時間即可解決問題．

解答 解：（1）把點A（-1，$\frac{3}{4}$），B（2，0）代入拋物線1₁：y=ax²+bx+1中得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=\frac{3}{4}}\\{4a+2b+1=0}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+1    則對稱軸為：直線x=0，頂點為（0，1）；
（2）①由題意1-$\frac{3}{4}$=2t解得t=$\frac{1}{8}$，
∴0≤t$≤\frac{1}{8}$時，y_P=$\frac{3}{4}$+2t，
t＞$\frac{1}{8}$時，y_P=1-2（t-$\frac{1}{8}$）=$\frac{5}{4}$-2t．
②當點P在起點A處時，OA=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∴⊙F的半徑為$\frac{5}{8}$，
∵點F坐標（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{8}$），
∴點F到直線y=1的距離為$\frac{8}{5}$，
∴點F到直線y=1的距離等于⊙F的半徑，
∴直線l₂與⊙F相切，
故答案為相切．
結論：在點P從點A運動到點D的過程中，直線1₂與⊙F始終保持相切．
理由：設點P坐標（m，-$\frac{1}{4}$m²+1），則點F坐標（$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{8}$m²+$\frac{1}{2}$），
∵OP=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴⊙F的半徑=$\frac{1}{8}$m²+$\frac{1}{2}$，
∵點F到直線y=1的距離為1-（-$\frac{1}{8}$m²+$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{8}$m²+$\frac{1}{2}$，
∴點F到直線y=1的距離等于⊙F的半徑，
∴在點P從點A運動到點D的過程中，直線1₂與⊙F始終保持相切．
（3）設點P坐標（m，-$\frac{1}{4}$m²+1），則點F坐標（$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{8}$m²+$\frac{1}{2}$），
∵OP=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴⊙F的半徑=$\frac{1}{8}$m²+$\frac{1}{2}$，
∴直線y=-$\frac{1}{8}$m²+$\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{8}$m²+$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$m²與⊙F相切，
∵t＞$\frac{1}{8}$時，-$\frac{1}{4}$m²+1=1-2（t-$\frac{1}{8}$），
∴-$\frac{1}{4}$m²=-2t+$\frac{1}{4}$，
當1-3t=-2t+$\frac{1}{4}$時直線l₂與⊙F相切，解得t=$\frac{3}{4}$，
∴當0＜t＜$\frac{3}{4}$時，⊙F與直線l₂相交．

點評 本題考查二次函數綜合題、直線與圓的位置關系、兩點間距離公式、勾股定理等知識，解題的關鍵是兩點間距離公式的應用，把問題轉化為方程去思考，學會利用特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題．