Question

如圖, 已知拋物線與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點A的坐標為（-1，0），點C的坐標為（0，-3）,拋物線的頂點為D.

1.求拋物線的解析式和頂點D的坐標

2.二次函數的圖像上是否存在點P，使得S_△PAB＝8S_△ABD？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；

3.若拋物線的對稱軸與x軸交于E點，點F在直線BC上，點M在的二次函數圖像上，如果以點F、M、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，請你求出符合條件的點M的坐標．

 

Answer 1

 

1.解：（1）將A（－1，0）、C（0，－3）代入y＝x²＋bx＋c

　　∴

∴b＝－2，c＝－3

∴y＝x²－2x－3······································································································· 2分

y＝x²－2x－3＝（x－1）²－4或，＝－4

∴D（1，－4）

2.當y＝0時，x²－2x－3＝0

（x－3）（x＋1）＝0

x₁＝3，x₂＝－1

∴B（3，0），AB＝4

3.設直線的解析式為y＝kx＋b

∴

∴k＝1，b＝－3

∴y＝x－3

由題意知：DE＝4

∵F、M、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形

∴FM∥DE，FM＝DE

∴（x²－2x－3）－（x－3）＝4

解得：x₁＝4，x₂＝－1

當x＝4時，x²－2x－3＝16－8－3＝5

當x＝－1時，x²－2x－3＝1＋2－3＝0

∴M₁（4，5）　　M₂（－1，0）       12分

解析:（1）把A、C兩點坐標代入二次函數中得出它的解析式，然后利用二次函數的性質求出頂點的坐標；

（2）先算出的值，從而得出的值，再設P點的坐標，利用三角形ABD的面積列出方程從而來求出P點的坐標；

（3）設直線的解析式為y＝kx＋b，把B、C兩點坐標代入求得直線的解析式，再根據FMDE為平行四邊形得出FM＝DE，列出方程，從而求出M點的坐標