Question

某同學從家里出發，騎自行車上學時，速度v（米/秒）與時間t（秒）的關系如圖a，A（10，5），B（130，5），C（135，0）．
（1）求該同學騎自行車上學途中的速度v與時間t的函數關系式；
（2）計算該同學從家到學校的路程（提示：在OA和BC段的運動過程中的平均速度分別等于它們中點時刻的速度，路程=平均速度×時間）；
（3）如圖b，直線x=t（0≤t≤135），與圖a的圖象相交于P、Q，用字母S表示圖中陰影部分面積，試求S與t的函數關系式；
（4）由（2）（3），直接猜出在t時刻，該同學離開家所走過的路程與此時S的數量關系？

Answer 1

分析：（1）此函數圖象分段，因此這個函數為分段函數，求出各個段的函數表達式聯立即可；
（2）根據圖象，分別得出各段路程相加即為從家到學校的路程；
（3）x=t函數不定，t從0變化到135，分段求陰影面積；
（4）設該同學離開家所走過的路程為l．由于路程=速度×時間，則①0≤t＜10，l=vt=（

1

2

×

1

2

t）×t=

1

4

t²；
②10≤t＜130，l為前10分鐘勻加速所走的路程加上后（t-10）分鐘勻速所走的路程，即l=

1

2

×5×10+5(t-10)=5t-25；
③130≤t＜135，l為前10分鐘勻加速所走的路程加上接著的120分鐘勻速所走的路程再加上后（t-130）分鐘勻減速所走的路程，即l=

1

2

×5×10+5×120+

(5+135-t)×(t-130)

2

=-

1

2

t2+135t-8475．
∴該同學離開家所走過的路程與所圍的陰影面積相等．

解答：解：（1）v與時間t的函數關系式：

v= 1 2 t(0≤t＜10) v=5(10≤t＜130) v=135-t(130≤t≤135)

；

（2）OA段平均速度為2.5m/s，BC段的為2.5m/s，
S=2.5×10+5×（130-10）+2.5×5=637.5m；

（3）①0≤t＜10，s=

1

2

×

1

2

t×t=

1

4

t2；
②10≤t＜130，s=

1

2

×5×10+5(t-10)=5t-25；
③130≤t≤135，s=

1

2

×5×10+5×120+

(5+135-t)×(t-130)

2

=-

1

2

t2+135t-8475．
∴S與t的函數關系式：

S= 1 4 t2(0≤t＜10) S=5t-25(10≤t＜130) S=- 1 2 t2+135t-8475(130≤t≤135)

；

（4）相等的關系．

點評：此題為函數圖象與實際結合的題型，考查了學生對圖象包含信息的認識，同學們應加強這方面能力的培養．