Question

某同學從家里出發，騎自行車上學時，速度v（米/秒）與時間t（秒）的關系如圖1，其中A（10，5），B（130，5），C（135，0）．
（1）求該同學騎自行車上學途中的速度v與時間t的函數關系式；
（2）計算該同學從家到學校的路程（提示：在OA和BC段的運動過程中的平均速度分別等于它們中點時刻的速度，路程=平均速度×時間）；
（3）如圖2，直線x=t（0≤t≤135），與圖1的圖象相交于P、Q，用字母S表示圖中陰影部分面積，試求S與t的函數關系式．

Answer 1

分析：從圖上可以看出v與t是一個分段函數，0～10是一個正比例函數，10～130是不變的常數，130～135是一次函數，設出函數式代入已知點可求解；路程=平均速度×時間，把三段的路程加起來即可；S與t的函數關系式也分成三段來寫函數式．

解答：解：（1）設直線OA的解析式是v=kt，
把（10，5）代入得：k=

1

2

，
∴v=

1

2

t（0≤t≤10）；
直線AB的解析式是v=5（10＜t≤130）；
設直線BC的解析式是v=kt+b，
把（130，5）和（135，0）代入得：

5=130k+b 0=135k+b

，
解得：k=-1，b=135，
∴v=-t+135（130＜t≤135）
v=

1 2 t(0≤t≤10) 5(10＜t≤130) -t+135(130＜t≤135)

；

（2）OA段平均速度為2.5m/s，BC段的為2.5m/s，
2.5×10+5×（130-10）+2.5×5=637.5m；

（3）①0≤t≤10，s=

1

2

×

1

2

t×t=

1

4

t²；
②10＜t≤130，s=

1

2

×5×10+5（t-10）=5t-25；
③130≤t≤135，s=

1

2

×5×10+5×120+

(5+135-t)×(t-130)

2

=-

1

2

t²+135t-8475．
∴S與t的函數關系式：
S=

1 4 t2(0≤t≤10) 5t-25(10＜t≤130) - 1 2 t2+135t-8475(130＜t≤135)

．

點評：本題考查通過圖象來確定函數式，本題關鍵是分段函數．