Question

在比較a^a+1和（a+1）^a的大小時（a是自然數），我們從分析a=1，a=2，a=3…這些簡單情況入手，從中發現規律，經過歸納，再得出結論．
（1）①1²______2¹，②2³______3²，③3⁴______4³，④4⁵______5⁴，…
（2）從第（1）題結果歸納，可猜出a^a+1和（a+1）^a的大小關系是怎樣的？
（3）請比較一下2008²⁰⁰⁹與2009²⁰⁰⁸的大小．

Answer 1

（1）①∵1²=1，2¹=2，
∴1²＜2¹；
②∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²；
③∵3⁴=81，4³=48，
∴3⁴＞4³；
④∵4⁵=1024，5⁴=625，
∴4⁵，＞5⁴．
故答案為：＜，＜，＞，＞；（4分）
（2）由（1）可知，
當1≤a≤2時（或a=1或2時），a^a+1＜（a+1）^a，（6分）
當a＞2時，a^a+1＞（a+1）^a；（8分）
（3）∵a=2008＞2，
∴2008²⁰⁰⁹＞2009²⁰⁰⁸．（10分）