Question

在比較a^a+1和（a+1）^a的大小時（a是自然數），我們從分析a=1，a=2，a=3…這些簡單情況入手，從中發現規律，經過歸納，再得出結論．
（1）①1²______2¹，②2³______3²，③3⁴______4³，④4⁵______5⁴，…
（2）從第（1）題結果歸納，可猜出a^a+1和（a+1）^a的大小關系是怎樣的？
（3）請比較一下2008²⁰⁰⁹與2009²⁰⁰⁸的大小．

Answer 1

解：（1）①∵1²=1，2¹=2，
∴1²＜2¹；
②∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²；
③∵3⁴=81，4³=48，
∴3⁴＞4³；
④∵4⁵=1024，5⁴=625，
∴4⁵，＞5⁴．
故答案為：＜，＜，＞，＞；
（2）由（1）可知，
當1≤a≤2時（或a=1或2時），a^a+1＜（a+1）^a，
當a＞2時，a^a+1＞（a+1）^a；
（3）∵a=2008＞2，
∴2008²⁰⁰⁹＞2009²⁰⁰⁸．
分析：（1）先根據有理數乘方的定義求出各數的值，再根據有理數大小的比較法則進行比較；
（2）根據（1）中有理數的大小總結出規律；
（3）根據（2）中的規律直接得出結論．
點評：本題考查的是有理數的大小比較及有理數的乘方，解答此題的關鍵是根據有理數比較大小的法則比較出（1）中各數的大小，總結出規律．