Question

已知：?ABCD的兩邊AB，AD的長是關于x的方程x²-mx+

m

2

-

1

4

=0的兩個實數根．
（1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；
（2）若AB的長為2，那么?ABCD的周長是多少？

Answer 1

分析：（1）讓根的判別式為0即可求得m，進而求得方程的根即為菱形的邊長；
（2）求得m的值，進而代入原方程求得另一根，即易求得平行四邊形的周長．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴△=0，即m²-4（

m

2

-

1

4

）=0，
整理得：（m-1）²=0，
解得m=1，
當m=1時，原方程為x²-x+

1

4

=0，
解得：x₁=x₂=0.5，
故當m=1時，四邊形ABCD是菱形，菱形的邊長是0.5；

（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，
把m=2.5代入原方程得x²-2.5x+1=0，解得x₁=2，x₂=0.5，
∴C_?ABCD=2×（2+0.5）=5．

點評：綜合考查了平行四邊形及菱形的有關性質；利用解一元二次方程得到兩種圖形的邊長是解決本題的關鍵．