Question

已知二次函數的圖象的頂點坐標為（3，-2）且與y軸交于（0，

5

2

）．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）求此拋物線與x軸的交點，并分別直接寫出當y＞0和y＜0時x的取值范圍；
（3）若拋物線經過點（2，y₁），（-1，y₂），（

1

2

，y₃），試比較y₁，y₂，y₃的大小．（直接寫出結果）

Answer 1

分析：（1）設二次函數頂點式解析式y=a（x-3）²-2，然后把與y軸的交點坐標代入函數解析式求出a的值，即可得解；
（2）令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到與x軸的交點坐標，然后根據函數圖象寫出不等式的解集；
（3）根據二次函數圖象上點的坐標特征求出y₁，y₂，y₃的值，即可比較大小．

解答：解：（1）∵二次函數的圖象的頂點坐標為（3，-2），
∴設拋物線解析式為y=a（x-3）²-2，
將點（0，

5

2

）代入得9a-2=

5

2

，
解得a=

1

2

，
∴此拋物線的解析式y=

1

2

（x-3）²-2；
圖象為：


（2）令y=0，則

1

2

（x-3）²-2=0，
∴x-3=2或x-3=-2，
解得x=5或x=1，
所以，拋物線與x軸的交點為（1，0）和（5，0），
由圖形可知，y＞0時，x＜1或x＞5；
y＜0時，1＜x＜5；

（3）當x₁=2時，y₁=

1

2

（2-3）²-2=-

3

2

，
當x₂=-1時，y₂=

1

2

（-1-3）²-2=6，
當x₃=

7

2

時，y₁=

1

2

（

7

2

-3）²-2=-

15

8

，
所以，y₂＞y₁＞y₃．

點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式，拋物線與x軸的交點的求解，二次函數與不等式的關系，以及二次函數圖象上點的坐標特征，（1）利用頂點式解析式求解更加簡便．