Question

（2012•南潯區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，點P從原點O出發(fā)，沿x軸向右以每秒一個單位長的速度運動t秒（t＞0），拋物線y=-x²+bx經過點O和點P．已知矩形ABCD的三個頂點為A（1，0），B（3，0），D（1，3）．
（1）求b的值（用t的代數式表示）；
（2）當3＜t＜4時，設拋物線分別與線段AD，BC交于點M，N．
①設直線MP的解析式為y=kx+m，在點P的運動過程中，你認為k的大小是否會變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出k的值；
②在點P的運動過程中，當OM⊥MN時，求出t的值；
（3）在點P的運動過程中，若拋物線與矩形ABCD的四條邊有四個交點，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將點P的坐標代入可得b的值．
（2）①將點M的橫坐標x=1代入解析式，可得出點M的坐標，將M、P的坐標代入，得出方程組，解出即可得出k的值．
②過點N作NH⊥AD于點H，分別表示出BN、MH、HN，根據當OM⊥MN時，可證得△OAM∽△MHN，從而利用相似三角形的對應邊成比例得出t的值．
（3）找兩個極值點，①拋物線的頂點縱坐標一定要大于點C和點D的縱坐標，②當x=1時，拋物線的縱坐標一定不能超過點D的縱坐標．

解答：解：（1）∵點P的坐標為（t，0），
∴0=-t²+bt，解得：b=t，
（2）①把x=1代入y=-x²+tx，
得y=t-1，即M（1，t-1），
∴

t-1=k+m 0=tk+m

，解得k=-1，
②如圖，過點N作NH⊥AD于點H，
求得：BN=3t-9，MH=8-2t，HN=AB=2，
當OM⊥MN時，可證得△OAM∽△MHN，
故可得

OA

MH

=

AM

HN

，即

1

8-2t

=

t-1

2

，
解得t1=

5+ 5

2

，t2=

5- 5

2

（舍去）
從而可得：t=

5+ 5

2

．
（3）拋物線的解析式為y=-x²+bx=-（x-

b

2

）²+

b2

4

，
①因為拋物線的頂點縱坐標大于點D和點C的縱坐標，所以

b2

4

＞3，
解得b＞2

3

或b＜-2

3

；
②當x=1時，y=-1+b＜3，
解得：b＜4，
綜上可得：2

3

＜b＜4．

點評：此題屬于二次函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式及相似三角形的判定與性質，難點在第三問，關鍵在于兩個極值點的尋找．