Question

如圖，O為正方形ABCD對角線上一點，以O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點M．
（1）求證：CD與⊙O相切．
（2）若正方形ABCD的邊長為1，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的性質得到AC是角平分線，再根據角平分線的性質進行證明；
（2）根據正方形的邊長可以求得其對角線的長，根據等腰直角三角形的性質得到OC是圓的半徑的倍，從而根據對角線的長列方程求解．
解答：證明：（1）連OM，過O作ON⊥CD于N；
∵⊙O與BC相切，
∴OM⊥BC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，
∴OM=ON，
∴CD與⊙O相切．

解：（2）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=CD=1，∠B=90°，∠ACD=45°，
∴AC=，∠MOC=∠MCO=45°，
∴MC=OM=OA，
∴OC=；
又∵AC=OA+OC，
∴OA+OA=，
∴OA=2-．
點評：此題綜合了正方形的性質和圓的切線的性質和判定．注意：運用數量關系證明圓的切線的方法．