Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中點，P為線段AB上的一個動點（可以與A、B重合），并作∠MPD=90°，PD交BC（CB延長線或BC的延長線）于點D．
（1）記BP的長為x，△BMP的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）是否存在這樣的點P，使得△MPD與△ABC相似？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）△BMP中，BM的長易求得，關鍵是求BM邊上的高；過P作PH⊥BC于H，易證得△BPH∽△BAC，通過相似三角形得出的成比例線段可求出PH的長，進而可求出y、x的函數關系式；
（2）所求的兩個三角形中，已知∠MPD=∠ACB=90°，若使兩三角形相似要分兩種情況進行討論；
一、D在BC上，
①∠PMB=∠B，此時PM=BM，MH=BH=2，可根據相似三角形得出的成比例線段求出x的值；②∠PMB=∠A，此時△BPM∽△BCA，同①可求得x的值；
二、D在BC延長線上時；
由于∠PMD＞∠B，因此只有一種情況：∠PMD=∠BAC；當P、A重合時，易證得∠MAC=∠PDM，由于tan∠MAC=＜tan∠B，所有∠MAC＜∠B，即當D在BC延長線上時，∠PDM總小于∠B，所有△PDM和△ABC不會相似；
綜合兩種情況，可得出符合條件的x的值．
解答：解：（1）過P作PH⊥BC于H，則PH∥AC；
Rt△ABC中，AC=6，BC=8；則AB=10．
∵P為AB上動點可與A、B重合（與A重合BP為0，與B重合BP為10）
 但是x不能等于5．
∵當x=5時，P為AB中點，PM∥AC，得到PD∥BC，PD與BC無交點，與題目已知矛盾，所以x的取值范圍是，0≤x≤10 且x≠5，
易知△BPH∽△BAC，得：
，PH==x；
∴y=×4×x=x（0≤x≤10 且x≠5）；

（2）當D在BC上時，
①∠PMB=∠B時，BP=PM，MH=BH=2；
MP=x，AB=10，MH=2，BC=8，
此時△MPD∽△BCA，
∴△MPD∽△MHP，
∴△MHP∽△BCA，
，
得：，解得；
②∠PMB=∠A時，△DPM∽△BCA，得：=，即DP•BA=DM•BC；
∴10x=4×8，解得x=；
當D在BC延長線上時，
由于∠PMD＞∠B，所以只討論∠PDM=∠B的情況；
當P、A重合時，Rt△MPD中，AC⊥MD，則∠MAC=∠PDM，
∵tan∠MAC=，tanB=，tan∠MAC＜tanB，
∴∠MAC＜∠B，即∠PDM＜∠B；
由于當P、A重合時，∠PDM最大，故當D在BC延長線上時，∠B＞∠PDM；
所以△PDM和△ACB不可能相似；

綜上所述，存在符合條件的P點，且x=2.5或3.2．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質，需注意的是（2）題中，雖然當D在BC延長線上的情況不成立，但是一定要將這種情況考慮到，以免漏解．