Question

設(shè)α為整數(shù)，若存在整數(shù)b和c，使得（x+α）（x-15）-25=（x+b）（x+c）成立，求α可取的值．

Answer 1

分析：此題可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)α為何值時，方程（x+α）（x-15）-25=0有兩個整數(shù)根．

解答：解：由原方程得：x²-（15-α）x-15α-25=0，
視其為關(guān)于α的一次方程，整理得α（x-15）=-x²+15x+25．
易知x≠15，∴α=

-x2+15x+25

x-15

=-x+

25

x-15

．
因?yàn)棣痢�x均為整數(shù)，討論見下表：

x-15	-25	-5	5	25
x	-10	10	20	40
α	9	-15	-15	-39

α取值為：9，-15，-39，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．

點(diǎn)評：本題主要考查了一元二次方程的一般形式及其整數(shù)根與有理根的知識點(diǎn)，解答此題時采用的是分離參數(shù)法，它適合于參數(shù)與方程的根均是整數(shù)，且參數(shù)較易于分離的情況．如此題變形為α=?（x），然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解，這是一種應(yīng)用較廣泛的方法．