Question

已知：（a+2b-10）²與|2a-3b+1|互為相反數，且a、b的值恰好為矩形ABCD的長與寬，點P是AD邊上的一個動點（P與A、D不重合），以BC為直徑的半圓O交PB于Q點，連接QC（如圖）．
（1）求矩形ABCD的長與寬；
（2）設PB=x，△BQC的面積S_△BQC=y，試求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當S_△BQC最大時，求PB的長．

Answer 1

分析：（1）根據非負數的性質：兩個非負數的和是0，因而兩個非負數同時等于0，即可求得a，b的值；
（2）證得△PAB∽△BQC，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求解；
（3）當S_△BQC最大時，BC邊上的高最大，此時Q點為半圓弧的中點，在根據勾股定理即可求得PB的長．

解答：解：（1）由題意，得

a+2b-10=0 2a-3b+1=0

解得

a=4 b=3

∴矩形的長為4，寬為3；

（2）在Rt△PAB中AP=

BP2-AB2

=

x2-9

，
∴S△PAB=

3

2

x2-9

由矩形ABCD得AD∥BC?∠1=∠2，∠A=90°
又∵BC是半圓的直徑得∠BQC=90°
∴∠A=∠BQC
∴△PAB∽△BQC?

S△PAB

S△BQC

=(

BP

BC

)2?

3 2 x2-9

y

=(

x

4

)2?y=

24 x2-9

x2

自變量x的取值范圍是：3＜x＜5．

（3）當S_△BQC最大時，BC邊上的高最大，此時Q點為半圓弧的中點．
∴QB=QC．
由（2）知：△PAB∽△BQC，∴AP=AB=3．
此時，PB=

AB2+AP2

=3

2

，即當S_△BQC最大時，PB=3

2

．

點評：本題主要考查了矩形的性質，矩形的判定，相似三角形的判定和性質以及一次函數的綜合應用．