Question

某商店計劃購進(jìn)某型號的螺絲和螺母進(jìn)行銷售，相關(guān)信息如下表：

	進(jìn)價（元/個）	售價（元/個）
螺絲	a	4.5
螺母	a-0.5	3.5

已知用300元購進(jìn)螺絲的數(shù)量與用250元購進(jìn)螺母的數(shù)量相同．
（1）求表中a的值；
（2）若該商店采購員帶了7000元去進(jìn)貨，要求購進(jìn)螺母的數(shù)量比購進(jìn)螺絲數(shù)量的4倍少60個，且螺絲的數(shù)量不少于548個．
①該采購員可以有幾種進(jìn)貨方案？
②該商店計劃將一半的螺絲配套銷售（1個螺絲和2個螺母配成一套），其余螺絲、螺母全部以零售方式銷售．已知一套配件的售價為10.5元．請問：該采購員該怎樣進(jìn)貨，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

解：（1）依題意，得，
解得，a=3，
經(jīng)檢驗，a=3是原方程的解，且符合題意；

（2）①設(shè)購進(jìn)螺絲x個，則購進(jìn)螺母（4x-60）個，
依題意，得：3x+2.5（4x-60）≤7000，
解得，x≤550，
又∵x≥548，
∴548≤x≤550，
∵x為整數(shù)，
∴x=548，549，550．
∴該采購員可以有三種進(jìn)貨方案；
②設(shè)當(dāng)購進(jìn)螺絲x個時的總利潤為y元，
則y=（10.5-3-2.5×2）×x+（4.5-3）×x+（3.5-2.5）×（3x-60），
=5x-60，
∵k=5＞0，y隨x的增大而增大，又由①知448≤x≤550，
∴當(dāng)x=550時，y_最大=5×550-60=2690，此時4x-60=2140；
∴該采購員應(yīng)該購進(jìn)螺絲550個，螺母2140個，才能獲得最大利潤；最大利潤是2690元．
分析：（1）依據(jù)題意可建立關(guān)于a的分式方程，，解答出即可；
（2）①設(shè)購進(jìn)螺絲x個，則購進(jìn)螺母（4x-60）個，依據(jù)題意，可建立一元一次不等式，3x+2.5（4x-60）≤7000，根據(jù)x的取值范圍，分類討論解答；
②設(shè)當(dāng)購進(jìn)螺絲x個時的總利潤為y元，建立關(guān)于利潤的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)x的取值范圍，解答出即可；
點評：本題考查了一次函數(shù)、一次不等式及分式方程的應(yīng)用，注意利用一次函數(shù)求最值時，關(guān)鍵是應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)；即由函數(shù)y隨x的變化，結(jié)合自變量的取值范圍確定最值．